1- تمهيد: يمكن القول أن مجموع ريمان هو طريقة للحصول على المساحة التقريبية المحصورة بن منحنى اقتران ما ومحور السينات. وكما هو الحال مع أي مسألة رياضية يمكن الوصول لمجموع ريمان بأكثر من أسلوب ونحصل على النتيجة ذاتها.

سنركز اهتمامنا في هذا الموضوع على طريقة تعتمد على تقسيم المساحة تحت المنحنى إلى مجموعة مستطيلات ثم إيجاد مساحة هذه المستطيلات التي تكون قريبة من المساحة المطلوبة. يعتمد الأمر بالطبع على استخدام موضوع التجزئة الذي عالجناه تحت العنوان الأول للتكامل وتطبيقاته.

يتوافق مجموع ريمان مع مفهوم أساس في علم التفاضل والتكامل وهو التكامل المحدود، وسنوضح هذا التوافق من خلال أمثلة محدودة نعالجها بالطريقتين: طريقة مجموع ريمان وطريقة التكامل المحدود.

2- حساب مجموع ريمان بطريقة المستطيلات Rectangular Approximation Method

تستند هذه الطريقة في أساسها إلى تقسيم المساحة الموجودة تحت المنحنى إلى عدد محدود من المستطيلات، ثم حساب مساحة كل مستطيل منها، ثم القيام بحساب مجموع هذه المساحات التي هي تقارب (أو تساوي) المساحة تحت المنحنى.

سنوضح طريقة الحصول على المجموع من خلال الأمثلة كما سنوضح بعض المفاهيم المرتبطة بمجموع ريمان ومتى يكون مجموع ريمان أصغر من المساحة المطلوبة ومتى يكون أكبر منها ومتى يكون مساوياً لها بالضبط أو قريباً جداً منها.

يعتمد إيجاد المجموع على تجزئة الفترة المعطاة إلى مجموعة فترات عددها ن حيث ن £ 1 أي ابتداءً من فترة واحدة إلى أن نصل إلى عدد لا نهائي من الفترات.