بسم الله الرحمن الرحيم
العدوية/ طولكرم ورقة عمل ( 7 )     الفصل الأول عام 2004/2003
                                                                                         
المعنى الفيزيائي للمشتقة + قاعدة السلسلة + المشتقات العليا
س1 قذف جسيم رأسياً الى أعلى فإذا كان بعد الجسيم ف  بالأقدام بعد ن ثانية يعطى بالعلاقة   ف = 96 ن - 16 ن2  ،
جدي أقصى ارتفاع يصل اليه الجسيم وتسارعه عند تلك اللحظة . ( فلسطين 88 )
س2 قذف جسيم رأسياً الى أعلى فإذا كان بعد الجسيم ف  بالأقدام بعد ن ثانية يعطى بالعلاقة   ف = 128 ن - 16 ن2  ،
جدي  1 ) تسارع الجسيم بعد مرور ( 3 ) ثواني من بدء الحركة           2 ) أقصى ارتفاع يصل اليه الجسيم  ( فلسطين 81 )
س3 جسيم يتحرك في خط مستقيم وفقاً للقانون  ف = 18 ن2 - ن3 ، حيث ف تمثل بعد الجسيم بالأمتار عن نقطة ثابتة 
على خط الحركة ، ن الزمن بالثواني
( فلسطين 80 )
1) أين ومتى يقف الجسم لحظياً ليعكس اتجاه حركته
2 )  متى يعود الجسم الى النقطة التي ابتدأ منها الحركة
3 ) أوجدي تسارعه عند بداية الحركة
1 س د2ص د ص ص ( فلسطين 90)
س4 اذا كان ص =  ، أثبتي أن + − = صفر
س د س2 د س س
س3  ، س < 1
س5 اذا كان ق ( س ) =
أ س2 + ب س + جـ ، س > 1 ( فلسطين 91)
أوجدي الثوابت أ ، ب ، جـ  بحيث ق// ( 1 ) موجودة . (الجواب : أ = 3 ، ب = - 3 ، جـ = 1)
( فلسطين 96)
س6 يتحرك جسيم عمودياً الى الأعلى والأسفل في خط مستقيم بحيث أن احداثي موقعه ص بعد  ن  من الثواني يساوي 
( 8 ن - ن2 ) ، أوجدي   1 ) مجموعة قيم ن التي تكون عندها السرعة موجبة    2 ) أكبر بعد للجسيم عن نقطة الأصل
( أردن 99 )
س7 قذف جسيم رأسياً الى الأعلى من سطح الأرض حسب العلاقة   ف ( ن ) = 128 ن - 16 ن2   ، حيث  ف المسافة بالأمتار
ن الزمن بالثواني ، ما الزمن بالثواني الذي يحتاجه الجسم وهو صاعد حتى تبلغ سرعته نصف السرعة التي قذف بها ؟
ن2 
س8 جسيم يتحرك في خط مستقيم بحيث يقطع في زمن  ن ثانية مساف قدرها    س =  ، مقدرة بالأمتار 
ن +1 
احسبي   سرعة الجسيم  وتسارعه  والمسافة التي يقطعها بعد ثانيتين من بدء الحركة . ( فلسطين 2001)
س9 يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث أن بعده عن نقطة الأصل بالأمتار بعد ن ثانية يعطى وفقاً للاقتران  
ف( ن ) = 3 ن2  + 7 ما سرعة الجسيم بعد  ( 3 ) ثواني ؟ ( أردن 2000)
س10 اذا كان ق ( س ) = س . هـ ( س )         ،   هـ ( س ) قابلاً للاشتقاق ، فجدي : ( أردن 2000)
1 )  ق/ ( س )       2 )  ق//( س )        3 )  ق/// ( س )         4 )  ق(ن) ( س )    ( المشتقة النونية للاقتران ق(س )
س11 قذف جسيم رأسياً الى الأعلى بحيث أن ارتفاعه من نقطة القذف بالأمتار بعد ن ثانية يعطى وفقاً للاقتران  ( أردن 2001)
ف ( ن ) = ع1 ن - 5 ن2   ، فإذا علمت أن أقصى ارتفاع وصل اله الجسيم هو ( 20 م )  ، فما قيمة  ع1   ؟
العدوية/ طولكرم ورقة عمل ( 7 )    
         
س12 قذف جسيم رأسياً اى أعلى بحيث أن المسافة  ف بالأمتار معطاة بالعلاقة  ف = 30 ن - أ ن2  ، ن بالثواني  ،
أوجدي سرعة الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة  اذا كان أقصى ارتفاع يصله هذا الجسيم هو ( 45 م ) . ( فلسطين 2000)
س13 جسيم يتحرك على خط مستقيم ، بحيث أن بعده عن نقطة الأصل بالأمتار بعد ن من الثواني يساوي  ( فلسطين 99)
ن
ف ( ن )  = جا2( ) ، حيث ن تنتمي للفترة [0 ،  π ] ، جدي السرعة والتسارع عندما  ف = 36و 0 
2
س14 جسيم يتحرك على خط مستقيم ، بحيث أن بعده عن نقطة الأصل بالأمتار بعد ن من الثواني يساوي  ( فلسطين 99 خطة قديمة )
ن
ف ( ن )  = جتا2( ) ، حيث ن تنتمي للفترة [0 ،  π ] ، جدي السرعة والتسارع عندما  ف = 64و 0 
2
س15 اذا كان   ق  ،  ج   اقترانان بحيث أن :  ق( 1 ) = 1 ، ق/ ( 1 ) = 3 ،  ج ( 1 ) = - 2 ،  ج/ ( 1 ) = - 1  ، أوجدي 
د ( ق (س ) × ج ( س ) د ( ق2(س ) - 3 ج ( س2) ( فلسطين 94)
1 ) 2 )
د س   د س  
س=1 س=1
د ص
س16 اذا كانت  ص = س ق ( س2 + 1) فأوجدي  عندما س = 1 ، علماً بأن ق ( 2 ) = 2 ، ق/ ( 2 ) = 3 ( فلسطين 93)
د س
د ص ( π  ، 1)
س16 اذا كان   ص = جا32 س + جتا 3 س  ، أوجدي عند ( فلسطين 92)
د س 6
د ص ( π  ، ) ( فلسطين 92)
س17 اذا كان ص =  جا23 س جتا2س ، أوجدي عند 1
د س 8 4
س18 يتحرك جسيم في خط مستقيم حسب العلاقة :
π π
 ف =  4جا( ن) ــ 4جتا( ن)  ، حيث ف المسافة المقطوعة بالأمتار بعد ن ثانبة  ( فلسطين 91)
2 2
أثبتي أن تسارع الجسيم ينعدم بعد ( 5 و 0 ثانية ) من بد الحركة ، ثم احسبي سرعة الجسم عندئذ .
هـ ( س2 ) 
س19 اذا كان ق ( س ) =  ، وكان هـ ( 1 ) = 3 ، هـ/ ( 1 ) = 3 ، أوجدي   ق/ ( 1 ) ( فلسطين 91)
س
س
س20 أوجدي معادلة العمودي على المماس  لمنحنى الاقتران ق ( س ) = جا2( )
2
π ( فلسطين 90)
عند النقطة التي احداثها السيني يساوي 
2
س21  اذا كان   ق  ،  ج   اقترانان بحيث أن :  ج( 2 ) = 4 ، ج/ ( 4 ) = -2 ،   ج/ ( 2 ) = 5  ، ق/ ( 4 ) =  1  ، أوجدي 
د ( ج2(س ) -  ق ( س2) ( فلسطين 89)
دس  
س=2
د ص
س22 أوجدي المشتقة الأولى  عند س = 1 ،  علماً بأن   ص = ق ( ع ) ،  ع = س2 + 2 س ــ 1  ،  ق/( 2 ) = 5
د س
( فلسطين 87)
العدوية/ طولكرم ورقة عمل ( 7 )    
         
س23 اذا كانت    ص = 5 + 4 جا 2 س + 3 جتا 2س  ،  فبرهني أن   ص// +4 ص = 20 ( فلسطين 85)
س24 اذا كانت المسافة ( ف ) التي يقطعها جسم متحرك في خط مستقيم بعد ( ن ) ثانية من بدء حركته تعطى بالقانون
π π
 ف =  10جتا( ن)  + 20جا( ن)  ، فأوجدي السرعة والتسارع عندما ( ن = 4 ثانية) ( فلسطين 84)
4 4
1 د ص
س25 اذا كان ص = ( ع - 1 )3 وكان ع = ، أوجدي  ( فلسطين 84)
س + 1 د س
π
س26 اذا كان ق ( س ) = س جتا س أوجدي   ق//( ) ( فلسطين 84)
2
ق2 ( س ) + س
س27 اذا كان  ك ( س ) = ،  هـ ( س )  ≠ 0 ، فأوجدي  ك/ ( 3 )  علماً بأن  للمنحنيين  
هـ ( س )
ق ( س ) ، هـ ( س )  مماساً أفقياً مشتركاً  عند النقطة ( 3 ، 4 ) الواقعة على كليهما ( فلسطين 99)
س28 اذا كان  ع ( س ) = ( ق 5 ك ) ( س )  ، ك ( س ) =  س - 1 ، أوجدي   ع/ ( 3 )  علماً بأن   ق/ ( 2 ) = 9
( فلسطين 97)
س29 اذا كان ص = قا 2 س  فأثبتي أن :
د2ص ( أردن 99 )
− 8 ص3 + 4 ص = صفر
د س2
جا س
س30 اذا كانت ص = ، س ≠ 0 فأثبتي أن    س ص// + 2 ص/ + س ص = صفر  ( أردن 97 )
س
د ص
س31 اذا كان   ل (س ) اقتراناً قابلا للاشتقاق عند س ، وكانت   ص = جان(ل(س))  ، حيث   ن عدد صحيح ، فجدي 
د س
( أردن 97 )
س32 اذا كان ق اقتراناً معرفاً على ح ، وكان ق ( 1 ) = 4 ، هـ ( س ) = س2 ــ 3 ، ( هـ 5 ق)/ ( 1 ) = 24
أوجدي قيمة ق/ ( 1 )  . ( أردن 98 )
د2ص
س33 اذا علمت أن   ص = س ظا س  ، فأثبتي أن  − 2 ص قا2 س  = 2 قا2 س . ( أردن 98 )
د س2
1
س34 اذا كان ق ( س ) = ، س ≠ 1 ، فأوجدي    ق(ن)( س )    ( المشتقة النونية للاقتران ق ( س )  ( أردن 98 )
1 - س
2 د ص
س35 اذا كان   ص = ع3 - 2 ع2 + 1  ، ع = س + ، أوجدي  عند س = 2
س دس
س36 اذا كان   هـ ( س ) = قا س + ظا س ،   فأثبتي أن 
هـ//( س ) = ( قا س ) . هـ2 ( س ) . ( فلسطين 2000)
س37 اذا كانت معادلة المماس لمنحنى  هـ ( س )  عند س = 1  هي  ص = 3 س - 5 ، احسبي معادلة العمودي على المماس
لمنحنى     ق ( س ) = ( س2 . هـ ( س ) )3 ( فلسطين 2000)
العدوية/ طولكرم ورقة عمل ( 7 )    
         
س38 اذا كان  ل ( س ) ، م ( س ) اقترانين قابلين للاشتقاق  عند النقطة س = 1 ، وكان ل ( 2 ) = - 1 ، ل/ ( 2 ) = - 2 ،
م ( 1 ) = 2 ، م/ ( 1 ) = 3  ،  احسبي  د ( س2 . ( ل 5 م ) ) عندما   س = 1  . ( فلسطين 2001)
د س
د ص
س39 اذا كانت   ص = ق ( س2 + 2 س )   ، ق/ ( 3 ) = 5       ، أوجدي  عندما   س = 1  . ( أردن 2000 )
د س
1
س40 اذا كان  ق ( س ) = ، س ≠ 0 ، هـ ( س ) = 2 س2 ــ 1   ، احسبي قيمة   ( ق 5 هـ )/ ( 1 ) ( أردن 2000 )
س
س41 اذا كان  ( ق 5 هـ )/ ( 3 ) = 15  ، حيث   ق ( س ) = س3 ــ 9 ، هـ/ ( 3 ) = 5 ، أوجدي  هـ ( 3 ) ( أردن 2001 )
س42 يتحرك جسم على خطٍ مستقيم ، بحيث يكون بعده عن نقطة الأصل بالأمتار بعد ( ن ) من الثواني يساوي  
ن
ق ( ن ) = جتا2( )  ،  جدي تسارع الجسيم عندما تنعدم السرعة . ( فلسطين 2002)
4
 ( أردن 2001 دورة تكميلية)
س43 اذا كان هـ ( س ) اقتران كثير حدود ، وكان هـ ( 1 ) = 5 ، هـ ( 1 )/ = -1 ، احسبي ( هـ2 )/ (1)   .
π
س44 اذا كان ق ( س ) = جاس ، هـ ( س ) =2س  ، فإن   ( هـ 5 ق )/ ( ) ( أردن 2000 )
6
ق2 ( س ) + س
س45 اذا كان م ( س ) = ، هـ ( س ) ≠ 0 ، وكان لمنحنيي ق ( س ) ، هـ ( س ) مماساً أفقياً مشتركاً 
هـ ( س )
عند النقطة  ( 3 ، 4 ) ، أوجدي   م/ ( 3 ) . ( أردن 2000 )
س46 قذفت كرة رأسياً الى أعلى من قمة برج ارتفاعه ( 160 ) قدماً اذا كانت المسافة المقطوعة تتعين بالمعادلة 
ف ( ن ) = - 16 ن2 + 48 ن +160 ، حيث ف المسافة بالأقدام ، ن الزمن بالثواني أوجدي :
أ )  أقصى ارتفاع تصله الكرة .                             ب ) سرعة الكرة لحظة اصطدامها بالأرض ( أردن 2000 )
س47 اذا كانت  ص = ( قاس + ظاس )ن  ، أثبتي أن  :   ص/ = ن ص قاس ( أردن 2000 )
د ص
س48 أوجدي  اذا كان   2 ص = ق ( 2 س2 - س )   ، عند س = 2 ( أردن 2001 )
د س
( - 1 )ن  ن !
س49 اذا كانت المشتقة النونية للاقتران  ق ( س )  تساوي   ق(ن) ( س ) =  ، أوجدي   ق(5) ( س ) .
س ن+1
( أردن 2001 )
س50 يتحرك جسيم في خطٍ مستقيم طبقاً للمعادلة :
ف ( ن ) = ن3 - 3 ن2 + 3ن +3  ، حيث ف ( ن ) المسافة بالأمتار  : ن الزمن بالثواني اثبتي أن الجسيم
 يتوقف مرة واحدة دون أن يغير من اتجاه حركته . ( أردن 2002 )
س51 اذا كان  ص = جاس +جتاس ، اثبتي أن :
د2ص
ص  + 1 = - جا2س ( أردن 2003 )
د س2
س52 يتحرك جسيم في خطٍ مستقيم فبقطع مسافة ف متراً في زمن ن ثانية حيث :
ف = ن3 - 7 ن2 + 9 ن +1     ، أوجدي تسارع الجسيم عندما تكون سرعته  1 م / ث ( أردن 2003 )