نظرية (7):

الزاويتانِ المحيطيتانِ المرسومتانِ على قوسٍ واحدٍ في الدائرةِ متساويتان .

الأهداف: عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تكون قادراً على تعرف العلاقة بين الزوايا المحيطية المرسومة على قوس واحد .

 تمهيد: إن العلاقة بين الزاوية المحيطية والزاوية المركزية المرسومتين على القوس نفسه ، قد أصبحت معروفة لك ، حيث أن الزاوية المركزية هي مثلي الزاوية المحيطية المرسومة على نفس القوس .

والسؤال الآن : ما العلاقة بين الزوايا المحيطية المرسومة على نفس القوس؟

نظرية: الزاويتان المحيطيتان المرسومتان على قوس واحد في الدائرة متساويتان .  المعطيات : دائرة مركزها م .  أ ب جـ ،  أ د جـ زاويتان محيطيتان مرسومتان على القوس أ هـ جـ في الدائرة . المطلوب : اثبات أن  أ ب جـ =  أ د جـ .

العمل : نصل م أ ، م جـ

البرهان : أ م جـ = 2  أ ب جـ ( مركزية ومحيطية مرسومتان على القوس ذاته ) .

كذلك  أ م جـ = 2  أ د جـ ( نفس السبب ) .

\  أ ب جـ =  أ د جـ .... وهو المطلوب .

أمثلة :

 أوجد قيمة س في كل مما يلي:

أولاً:

الحل :  د = 40 ْ .  د =  جـ لأنها مرسومة على القوس ذاته . \  جـ = 40 ْ .  س =  جـ بالتبادل لأن جـ ب  ¤¤  د أ . \  س = 40 ْ .

ثانياً:

ثالثاًُ:

 أوجد كل من  د أ ب ،  د و ب

الحل : لاحظ D هـ جـ ب معلوم من زواياه  هـ ،  ب . \  جـ = 180 ( 25 +20 )               = 180 ـ ( 45 ) = 135 ْ . \ د جـ ب = 180 ـ 135 لأن هـ جـ د زاوية مستقيمة .                     = 45 ْ .

لكن  جـ د و ( هي ذاتها  جـ د أ ) =  جـ ب أ لأنهما محيطيتان مشتركتان بالقوس جـ أ

إذن  جـ د و = 20 ْ  .

إذن  د و ب = 45 ْ + 20 ْ = 65 ْ  لأن  زاوية د و ب خارجة بالنسبه للمثلث د جــ و.د

لكن د جـ ب = د  أ ب لأنهما مشتركتان في القوس د ب

\  د أ ب = 45 ْ و هو المطلوب