تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثالثة فأكثر إلى عواملها الأولية

 

مثال (1) :

حلل المقدار س⁴ – 4س³ – 22س² + 4س + 21

 

تحليل السؤال :

1. هل يمكن تحليل المقدار إلى عوامله الأولية بطرق التحليل التي درسناها سابقاً ؟

2. إذن علينا أن نبحث عن أحد عوامله بالتخمين. ما الأساس الذي نعتمد عليه عند التخمين ؟

3. ما هي عوامل العدد 21؟ اكتبها جميعها على دفترك.

4. إذا كان المقدار قابلاً للتجليل بأربعة أقواس هي (س+1) (س+ب) (س+ج) (س+د) حيث أ، ب، ج، د هي أعداد صحيحة فما حاصل ضرب أ × ب × ج × د؟

5. إذا كان في ناتج التحليل قوس من الدرجة الثانية مثل (س² + ب س + ج) وكانت بقية أقواس التحليل من الدرجة الأولى بالنسبة للرمز س. فكم عدد هذه الأقواس.

6. إذا كان في ناتج التحليل قوسان من الدرجة الثانية، فما عدد الأقواس من الدرجة الأولى؟

7. متى يكون كثير الحدود غير قابل للتحليل (مقداراً أولياً)؟

8. في مثالنا هذا يمكن أن يكون س + أ أحد عوامل كثير الحدود المعطى، ما هي الطرق التي يمكن أن نلجأ إليها لإثبات أو نفي أنه أحد العوامل.

 

إجابة على هذا السؤال (8) نذكرك أنه يمكنك أن تلجأ لإحدى الطرق الثلاث وهي الطريقة التي تعتمد نظرية الباقي والطريقة التي تعتمد القسمة التركيبية، ثم أخيراً طريقة القسمة الطويلة.

 

* نظرية الباقي

نعتبر ق (س) = س⁴ – 4س³ – 22س² + 4س + 21

إذن ق (-1) = (-1)⁴ – 4 (-1)³ – 22 (-1)² + 4 (-1) + 21

              = 1 + 4 – 22 – 4 + 21

              = 26 – 26

              = صفر

إذن س + 1 هو أحد عوامل المقدار س⁴ – 4س³ – 22س² +4س +21

- ما ناتج قسمة ق (س) على س + 1

- لنجد هذا الناتج بالقسمة التركيبية.

 

 

ناتج  القسمة = س³ – 5س² – 17س + 21

 

من الواضح أن ناتج القسمة هو كثير حدود جديد وعلينا أن نبحث عن عامل جديد كما قمنا بذلك قبل قليل عندما اختبرنا س + 1 .

يمكن أن نختبر س + 1 نفسه أو س – 1 أو س + 3 أو س – 3 ... الخ .

 

- لنطبق نظرية الباقي على العامل س + 1 نفسه :

لنفترض أن ق₁(س) = س³ – 5س² – 17س + 21

             ق₁(-1) = (+1)³ – 5 (-1)² – 17 (-1) + 21

                      = - 1 – 5 + 17 + 21

                      = 38 – 6

                      = 32 الباقي

 

إذن س + 1 ليست من عوامل ق₁(س)

- لنجرب ق₁(1) = (1)₃ – 5 (1)₂ – 17 (1) + 21

                  = 1 – 5 – 17 + 21

                  = 22 – 22

                  = صفر

 

بما أنه لا يوجد باقي إذن س – 1 هو أحد عوامل ق1(س) .

- ما ناتج قسمة ق₁(س) على  س – 1

لنجد ذلك بالطريقة التركيبية .

 

إذن ناتج القسمة = س² – 4س – 21

 

- ما نوع ناتج القسمة س² – 4س – 21 ؟

إنها عبارة تربيعية .

- ما تحليلها ؟

- ما التحليل النهائي للمقدار س⁴ – 4س³ – 22س² + 4س + 21 ؟

الجواب : ناتج التحليل = (س + 1) (س – 1) (س + 3) (س – 7)

- وبناءً على ما تقدم لا بد أنك لاحظت ما يلي:

1. أن طريقة التحليل ظهرت طويلة وذلك لأننا استخدمنا التحليل المنطقي والعلمي في حل المسألة .

2. أن عملية التحليل تحتاج إلى تطبيق أكثر من فكرة .

3. أنه يمكنك أن تحل مسألة كهذه جزئياً (بل وحتى كلياً) بالتخمين شريطة أن تكون التخمينات منطقية .

 

1. الجواب بالنفي فهو ليس عبارة تربيعية ولا فرق مربعين أو مكعبين ... الخ .

2. الجواب : نعتمد للتخمين على حدين من حدود المقدار المعطى الأول معامل الحد السيني بأكبر أس وهو س⁴ . والحد الثاني هو المقدار الثابت أو ما نسميه الحد المطلق وهو في مثالنا +21 .

 

4. الجواب: 21. 

5. الجواب : قوسان (2).

6. الجواب : في هذه الحالة لا بوجد أقواس من الدرجة الأولى (لماذا؟).

7. الجواب : يكون كثير الحدود أولياً إذا كان غير قابل للتحليل أي حينما يكون له عامل واحد آخر غيره هو العدد (1).

تذكير: ما هو تعريف العدد الأولي؟؟

 

رجوع